Как три вектора один детерминант в нуль обратили
Народная сказка
Адам АР и Ева КЛИД
Как идут две параллели,
Да не сходятся.
Как стоят два перпендикуляра,
Да не наклонятся.
Старинная песня
В некотором пространстве, в некотором подпространстве
жило-было-задано нормализованное удобо-упорядоченное семейство векторов
– I1, I2 и I3.
He было у них ни собственных чисел, ни собственных значений, жили в чем
мать родила. Из периода в период, от – π до π гнули братья спины на
базисе богатого Симплекса – эксплуататора и тунеядца, который всю жизнь
свою прожил по принципу наименьшего действия.
И невзлюбил их сын Симплекса Комплекс. Вытворяет над ними свои комплексные штучки: то одну координату отобьет, то другую.
«Не будет нам житья от этого Комплекса, – решили братья. – Нет на
него никаких ограничений». И задумали они обойти все пространства и все
подпространства, все оболочки и многообразия, а найти правую систему
координат. Вышли в чисто потенциальное поле и пошли с шагом h/2 куда
глаза глядят.
π идут, 2π идут, 3π идут. Стали уже попадаться изоклины. Глянули братья
– прямо перед ними блестит голубым разрезом на ровной комплексной
плоскости струйное течение. Не простое течение – с кавитацией. «А не
половить ли нам рыбки?» – молвил I1.
«Отчего же нет?» – сказали братья. Забросили они с верхнего берега свою
видавшую виды ортогональную сеть. Смотрят – в сети сигма-рыба бьется,
человечьим голосом разговаривает: «Не губите меня, добры молодцы, я еще
вам пригожусь». Выпустили ее братья на волю и дальше пошли.
Долго ли, коротко ли шли – больше нуля, меньше бесконечности – смотрят: лежит при дороге малый параметр, от голода плачет.
Пожалели его братья, накормили ядрами всвертку, угостили и
повторными. Стал тут параметр на глазах расти, а когда достиг
экстремальной величины, поблагодарил братьев, сказал: «Я еще вам
пригожусь». Да и пропал, будто и не было его вовсе.
Потемнело тут небо, исчезло солнышко. Понеслись по дороге листья
Мебиуса, закрутились в воздухе уединенные вихри; огненные разрезы
молний раскололи небесную сферу Римана. Оглянулись братья, глядь – при
дороге избушка на курьих ножках. «Избушка, избушка, повернись к нам
плюсом, к лесу минусом».
Попереминалась избушка с ноги на ногу, повернулась. Вошли в нее векторы
и возрадовались. Стоит в избушке стол, всякими яствами уставлен. Поели
братья, спросили: «Есть тут кто? Отзовись». Смотрят – из-под печки
вылазит не то вектор, не то скаляр, дробной цепью закованный.
«Привет вам, благородные векторы! Я добрый волшебник Ади Аба Ата
Коши Мак Лоран. Вот уже полжизни сижу я здесь под стражей злой
Наблы-Яги за отрицание разнозначности...» Не успел он договорить –
зашумело, засвистело вокруг. «Бежим!» – воскричал Мак Лоран. Расковали
его братья и пустились все вместе наутек.
Оглянулись и видят – летит по небу прекрасная Дельта.
Ударилась Дельта оземь, стала на голову и обратилась в страшную Наблу-Ягу.
«Чую, чую, векторным духом пахнет!» А векторов тех уж и след
простыл.
Вывел Ади Аба Ата братьев на геодезическую линию, указал дорогу на
Divgrad, что означает Дивный город, а сам пошел своим путем.
...И выросли перед братьями стены града великого, подобно тому как
возрастает график тангенса с аргументом, близким к π/2. И расходилось
от него сияние лучистое, подобно тому как расходятся частные суммы
гармонического ряда.
Зашли братья в харчевню «Y с волной», разговорились с хозяйкой,
толстой, дородной Тильдой. И рассказала она им о великом несчастье,
постигшем их город.
Устроил как-то правитель Дивграда великий Тензор IV инвариантный бал по
случаю совершеннолетия своей дочери красавицы Резольвенты. Такого бала
еще не было в его области определения. Приехал на бал граф Икс в
самосопряженной коляске, прибыл князь Синус со своей Синусоидой. Дивные
звуки K-мерной музыки, исполнявшейся хором высших гармоник в
сопровождении ударных поляр, услаждали слух. Весь зал кружился в танце
«Па dt». Вдруг погас свет, заметались по стенам фигуры Лиссажу,
переполошились гости. А когда починили пробки, красавицы Резольвенты и
след простыл. Как показало следствие из теоремы о монодрамии, ее
похитил злой волшебник Вандермонд. Он проник на бал, нарушив условия
Даламбера – Эйлера и совершив подстановку в рядах стражи.
Крепко запал в душу братьям рассказ Тильды. И решили они померяться
силами со злым Вандермондом, вызволить из его рук красавицу
Резольвенту. Отправились они в торговые ряды Тэйлора, снарядились,
погадали на годографе и тронулись в путь.
Скоро сказка сказывается, да не скоро дело делается. Тяжелые
граничные условия не позволили векторам пройти в соседнюю
накрестлежащую область, населенную псевдовекторами, где господствовало
классовое неравенство Коши – Буняковского.
И по огибающей вышли они к точке ветвления, на которой было написано:
«Направо пойдешь – в бесконечность уйдешь. Налево пойдешь – координат
не соберешь. Прямо пойдешь – транспонируешься». Задумались братья.
Вдруг откуда ни возьмись – старый знакомый Ади Аба Ата Коши Мак Лоран.
«Знаю, братья, я вашу думу. Тяжелое дело вы замыслили. Трудно одолеть
Вандермонда. Смерть его заключена в детерминанте. А детерминант тот
находится в додекаэдре. А додекаэдр лежит в икосаэдре. А икосаэдр тот
привязан крепко-накрепко к корням полинома Лежандра, первый узел –
простой, второй – морской, третий – логарифмический. А полином тот
растет в изолированной точке и добраться до нее нелегко. Лежит она за 3
+ 9 земель в пространстве хана Банаха. И охраняет ее чудище с
трансцендентным числом ног, по кличке Декремент. Тот детерминант надо
достать и приравнять нулю».
Показал им Ади Аба Ата дорогу, и вышли по ней братья к границам
непустого множества, заполненного несжимаемой жидкостью. Стоят, гадают,
как им быть – не знают. Вдруг откуда ни возьмись – сигма-рыба. «Вот и
пригодилась я вам, добрые молодцы!» Перевезла их всех, объяснила дорогу
дальше.
Не успели братья и двух периодов пройти, преградил им путь разрыв
второго рода.
Опечалились векторы. Да предстал перед ними малый параметр. «Вот и
пригодился я вам, братья!». Ударился оземь, разложился по своим
степеням, и перешли братья на другую сторону. «А теперь, – говорит им
параметр, – идите по следам матриц, прямо до изолированной точки».
Отыскали братья следы, смотрят – расходятся они на три стороны.
Отправились они каждый по своему направлению. Шел-шел I1
– вдруг как из-под земли выросли перед ним неисчислимые орты хана
Банаха, все, кроме, быть может, одного, одетые в жорданову форму,
подстриженные под скобку Пуассона. «Эх, – опечалился вектор, – нет со
мной моих любимых братьев! Да ничего, I1 в поле воин!» – и бесстрашно бросился на врагов. А тут и братья подоспели. Одолели супостата.
Вдруг задрожало все вокруг, зарезонировало. Разверзлась земля, и
появилось перед векторами чудище Декремент. Не растерялись братья,
накинули на него веревочный многоугольник. Запуталось в нем чудище.
Издохло.
Нашли братья полином, разрыли корни, разрубили узлы, открыли
икосаэдр, достали додекаэдр, извлекли детерминант... да и приравняли
его нулю.
Тут и пришел конец Вандермонду. И появилась перед братьями красавица
Резольвента, живая и невредимая.
...Что и требовалось доказать.
Примечание 1.
Сказка написана для случая n0 = 3. Пользуясь методом полной математической индукции, читатель без труда обобщит ее на случай любого n > n0.
Примечание 2.
Обратное, вообще говоря, неверно.
Напечатано в газете «За науку» Московского физико-технического института, № 8 и 9 (1961).